刚刚，陶哲轩与多名数学家通力合作，为 Erd ő s。

至此，这个尘封 50 年的难题终于得到完全解决。

关键是，AI 又立大功了。在多种 AI 工具的辅助下，整个解题流程仅用48 小时便完成。

博采众家 &AI 之长，正在成为解决问题的关键。

正如陶哲轩本人所说：

用传统方法，一两位数学家用简单的编程和文献检索工具，最终也能完成，但可能需要数周或者数月才能解决。

陶哲轩随后亲自梳理并公开了此次问题被解决的完整过程。

消息传出后，网友纷纷感叹 " 太酷了 "：

一起来看看他们究竟是如何解决的？

48 小时解决 Erd ő s

Erd ő s问题最早在 1975 年被提出，初始问题为：

但该问题表述相当模糊，于是数学家 Desmond Weisenberg 提议对这个函数的最小可能值进行研究，引入一个最大常数的量 c ( n ) ，使得：

其中 c ( n ) 是所有长度为 n 的不同实数序列。

如果用博弈论来解释该问题，那么就是：

假设 Alice 有 N 个硬币，她将硬币分为 n 堆，每堆大小都为，Bob 只能选择一个单调子序列的堆，并拿走这些堆里的所有硬币。

问 Bob 无论 Alice 如何分配硬币，至少能保证拿走全部硬币的多少比例？其中 c ( n ) 是 Bob 拿走的最小比例。

这里陶哲轩还用 AI 画了一张简单的说明图：

陶哲轩随即给出了他的初步答案，显然 c ( 1 ) =1 时，Alice 只有一堆，Bob 可以拿走全部；c ( 2 ) =1 时，两堆一定处于单调，Bob 可以拿两堆；c ( 3 ) =2/3 时，Bob 至少可以取两堆，但无法保证全部三堆。

数学家 Stijn Cambie 提出了更进一步的猜想。

通过计算 c ( n ) 的前几个值可以得到，存在以下近值：1，1，2/3，1/2，1/2，3/7，2/5，3/8，1/3。

所以如果 ,..., 是不同的正实数且，那么总存在一个和至少为 1/k 的单调子序列。

但该问题随后一直没有出现进展，直到 Boris Alexeev 使用 Harmonic 的数学 AI 模型亚里士多德，在证明助手 Lean 中自动构造并证明了关键不等式。

该证明成功将原问题转化为一个计算几何领域的矩形填充问题。

一个小时不到，另一位数学家 Koishi Chan 加入其中，给出了一个基于原始Erd ő s – Szekeres 定理的替代证明，印证了前面 AI 的发现。

第二天，陶哲轩注意到了这个问题，他将该问题放入 AlphaEvolve，要求它通过生成总和为固定值（这里选择的是 10 的 6 次方）的实数（或整数）序列，来获取 c ( n ) 的上界，并尽可能确保 S 的值够小。

在运行一小时后，AlphaEvolve 生成了以下 c ( n ) 的上界，其中包含了一些结构清晰的潜在极值解：

显然数值分数（除以 10 的 6 次方）正在试图逼近简单有理数，于是陶哲轩又利用 John Cook 的公开专用工具，将序列整理成：

这为序列 c ( n ) 的值提供了一种猜想，之后 Boris Alexeev 继续找到了该猜想的简洁表述，即：

满足和。

另外，他还提供了一个明确的上界构造：

该上界通过构造不利配置的序列实现，基本思想仍然来自 Erd ő s – Szekeres 定理，即复杂设计数字排列顺序，会使得长单调序列无法同时拥有很好的权重。

这种构造是组合性的，需要精心设计序列结构与分块策略，才能使最长序列单调和受限。

用 ChatGPT Pro 生成 1/c ( n ) 的图像，能够直观看出，它基本上是对平方根函数的分段线性逼近。

不久之后，数学家 Lawrence Wu 就该问题，结合正方形填充（Erd ő s）进行了阐述。

根据 Erd ő s，他将 f ( n ) 引入该问题，设定其为最小数，使得把 n 个正方形按平行坐标轴打包进一个大正方形时，满足：

其中对于 n=10 时，用 ChatGPT Pro 生成转换成方形打包的图像，如图所示：

在此基础上，Lawrence Wu 通过 AI 论文检索，找到了一篇去年由 Baek、Koizumi 和 Ueoro 联合发表的论文，最终证明了猜想中的公式，从而完成了整体证明。

接下来陶哲轩将上述所有信息全部输入了 ChatGPT，生成了连贯证明。

人 + 人 +AI= 数学破壁机

当然，这已经不是陶哲轩第一次用 AI 解题了。

最近，他还借助 Gemini 2.5 Deep Think 破解了 Erd ő s 问题。

这是他本人很擅长的连续整数结构的乘法数论问题，该问题建立在前人并不完整的反证基础上，陶哲轩借助 Gemini Deep Think 进行证明补全。

全程只用了十分钟，Gemini 就从论证分析打通了结论确认。

另外，陶哲轩前段时间还利用 GPT-5 进行半自动化文献检索。

他借助 GPT-5 对相关数列进行高精度计算，随后将得到的结果输入 OEIS（一个收录全球数列的数据库）进行检索对照，进而发现部分 Erd ő s 问题其实早已在既有研究中被解决——只是长期没人注意到，未把结果与问题库对应起来。

至于什么是 Erd ő s 问题？

它出自 20 世纪著名匈牙利数学家 Paul Erd ő s。此人一辈子合作了超 500 位数学家，毕生发表了约 1525 篇数学论文，数量之多，至今无人能及。相应地，他也提出或转述了千道问题，给后人留下了 "Erd ő s 问题 "。

其中大量题目被收录于 erdosproblems.com 网站。该网站由数学家 Thomas Bloom 制作，记录了每道题目的当前状态。目前，绝大多数难题依然悬而未解。

随着 AI 技术的不断进步，接连有人利用 AI 成功解答了这些几十年来未曾解决的难题。

陶哲轩本人就表示，" 在 Erd ő s 问题网站上，AI 辅助已经变得很常见 "。

就在前几天，来自 Harmonic 的数学 AI 模型还被曝独立证明了 Erd ő s 问题。

微软前 AI 副总裁、目前在 OpenAI 研究 AGI 的 Sebastien Bubeck 表示 " 该解决方案 100% 由 AI 生成，总计耗时 6 小时 "。

目前，Erd ő s 网站也公开鼓励大家借助 AI 等工具辅助解题：

允许使用 AI 辅助撰写评论，但需满足： ( a ) 公开说明使用了 AI； ( b ) 内容（包括数学内容、代码、数值数据及相关来源）已由用户本人独立（不借助 AI）仔细检查和验证； ( c ) 评论长度合理。

而这次 Erd ő s，离不开 " 人与人的协作 "+" 人与 AI 的协作 "。

这种协作方式，也正在成为一种新趋势。

参考链接：

[ 1 ] https://www.erdosproblems.com/forum/thread/1026

[ 2 ] https://terrytao.wordpress.com/2025/12/08/the-story-of-erdos-problem-126/

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