导语

在自然界和社会系统的许多相互作用网络中，局部连接的微观动力学会在时间演化中集体放大，导致宏观结构的突然重组。然而，传统的平衡统计力学框架无法描述这种在有限时间内出现的非平衡突变过程。本文提出了一个关于非平衡网络动力学的可解模型，揭示了有限时间动力学相变（Dynamical Phase Transition, DPT）的普适机制：由局部非线性反馈驱动的随机连边过程，在时间演化中自组织形成临界点，使得网络平均度在有限时间处发散。该框架以解析形式建立了动力学方程、临界条件与可观测序参量之间的联系，展示了非平衡系统中时间奇点的形成。这一工作表明，有限时间的临界现象并非偶然异常，而是非平衡网络演化的自然结果，拓展了人们对复杂系统中时间临界性的认识。

本篇论文一作刘家臻为 [ 圣塔菲 · 复杂科学经典论文研读 ] 读书会发起人，主讲读书会 [ 第 4 期 图形生长问题的数学理论 ] 。

关键词：非平衡网络、动力学相变、有限时间奇点、时间临界性、三角闭合反馈

刘家臻丨作者

论文题目：Dynamical Phase Transitions in quilibrium Networks

论文链接：https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/yls4-kdvj

发表时间：2025 年 10 月 15 日

论文来源：Physical Review Letters

在自然界和社会系统中，复杂网络的演化往往呈现自组织的突变特征：金融市场的连锁反应、生态系统的突然崩塌、社交网络的舆论爆发，皆是局部互动在宏观尺度上被放大的结果。传统的平衡统计力学模型假设系统在长期极限下达到稳态，因此能有效解释温度、压力等外参驱动下的相变现象，却无法捕捉系统在有限时间内的动力学突变。另一方面，已有的非平衡网络模型通常聚焦于稳态拓扑（如幂律分布或社团结构）的生成机制，而忽略了这些结构如何在演化过程中自发出现和消失。换言之，现有框架缺乏描述 " 时间临界性 "（temporal criticality）的理论语言——即局部非线性过程如何通过动态放大在有限时间内诱发全局突变。为了理解这种从微观连接规则到宏观爆发行为的跨尺度耦合，我们需要一种新的非平衡网络动力学模型：它不依赖外部控制参数，而通过内生的动力学相互作用，揭示复杂系统在时间演化中出现的临界点与相变机制。

为捕捉非平衡网络在有限时间内的临界演化，我们提出了一个最小非平衡网络动力学模型（见图 1）。该模型通过显式引入时间依赖的连边率函数，将微观层面的连接过程与宏观结构变量（如平均度与聚类系数）的时间演化相耦合。具体而言，模型设定每条潜在边的生成率不仅取决于节点间的随机接触，还取决于它们共同邻居数所形成的局部三角闭合反馈，从而在微观层面引入非线性相互作用。

图 1 复杂网络上的动力学相变

通过在连续极限下对连边与断边过程的主方程求解：（1）我们推导出平均度随时间的解析表达式，揭示其在有限临界时间处出现 hyperbolic scaling 效应，从而在解析层面刻画了系统从稀疏相到致密相的动力学相变过程。这一结果表明，局部三角闭合的非线性反馈经由随机连边放大为全局突变，构成一类一阶动力学相变（见图 2 和 3）；（2）解析推导表明，渐近临界时间时的度分布会逼近幂律，其中幂指数趋向 -1，而聚类标度也会渐近服从 C ( k ) ∼ 1/k，再次体现 hyperbolic scaling 效应。这一特征表明，有限时间动力学相变不仅改变连接密度，还重塑了网络的异质结构与多尺度特性（图 4）；（3）作者发展了图动力学的 Schwinger – Dyson 方程族，将网络子图密度的时间演化形式化为关联函数的层级演化。该框架揭示了从微观连接概率到宏观结构演化的层次耦合机制，为非平衡网络建立了场论意义下的系统描述。

上述解析结果与大规模数值模拟高度一致。并显示随着热力学系统 N 增大，序参量跃迁趋于不连续，确认相变的热力学极限性质。

图 2 有限时间内边密度发散和对应的一阶相变

图 3 相图

图 4 复杂网络动力学相变的临界行为

本研究的理论分析揭示了非平衡网络在有限时间动力学相变过程中所体现的三种深层机制：（1）有限时间的动力学相变并非偶然的突发事件，而是一种普适的非平衡机制，是一种由动力学自洽性决定的时间临界性。这一思想在理论上延伸了非平衡统计物理的范畴，使 " 临界点 " 不再是参数空间中的静态分界，而是时间演化过程中自发出现的奇点；（2）当局部连接强化宏观聚集时，系统的结构稳定性将很可能随之下降。解析结果表明，非线性反馈虽可加速秩序形成，但同时放大扰动对全局结构的影响，使系统在临界点附近对随机波动极度敏感；（3）在非线性交互可忽略时，系统近似满足详细平衡，对应封闭体系的平衡稳态；而在非线性交互不可忽略时，持续的三角反馈驱动系统保持非零概率流，形成具有正熵产生率的非平衡稳态（NESS）。两种稳态可由 " 动力学势–组合熵 " 竞争关系统一描述，前者为能量最小化平衡态，后者为熵驱动的开放态（见原文讨论和补充材料部分）。

未来对动力学相变（DPT）的实证研究，将依赖于更高分辨率的复杂系统时序数据与跨领域验证，从量子系统到金融经济系统，再到生态系统。在计算应用层面，未来可探索机器学习生成模型，特别是扩散模型与薛定谔桥框架在非平衡系统中的可迁移性，评估其在有限样本条件下重建非平衡临界动力学的能力。在理论层面，有限时间奇点的解析结构揭示了与量子体系动力学相变的形式对应：经典系统的生灭算符与量子演化算符在数理上可由同一类谱解析性刻画。这种跨领域的映射表明，时间临界性可能构成连接经典非平衡与量子动力学的共同语法桥梁。未来的理论研究将进一步探讨这 " 动力学势—谱结构 " 的统一框架，探索是否存在普适的 " 非平衡能量景观 "。

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