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此前《返朴》发表关于庞加莱自守函数研究的长文科普和，在业内获得了不错的反响。事实证明，对于庞加莱及其工作，仍有许多内容值得介绍，尤其是他数学论文集目前依然没有中译版。本文是美国著名数学家伯克霍夫在 1920 年为庞加莱去世后出版的第 2 卷文集（1916）所作的书评 [ 他曾在 1913 年推广并证明了庞加莱在 1912 年发现的 " 几何定理 "（th é or è me de g é om é trie），现称为庞加莱 - 伯克霍夫定理 ] ，文章主要回顾了庞加莱自守函数相关的研究。《返朴》发表的文章注重庞加莱工作的基础来源、工作细节以及与其他领域的联系，而本文侧重其在当时的具体背景和思想脉络，也更具批判性。

撰文  | 伯克霍夫（George D. Birkhoff）

翻译  | 金威

《庞加莱文集》约有 10 卷，而我们面前的这卷是首次出版。书中收录了庞加莱在自守函数领域撰写的主要论文，他早期的一些最杰出的工作即在于此。根据达布（Darboux）在序言中的说明，首先出版其中的第 2 卷，是希望它能激励数学工作者在这一领域积极工作。

诺伦德（N ö rlund）为本书提供了非常宝贵和必要的修订，并附有批判性的注释。

庞加莱逝世后不久，许多文采斐然的悼词都证明，他在数学界的主导地位得到了广泛的认可。其中一篇最精彩的悼词中，沃尔特拉（Volterra）说：" 如果要用一个名字来概括近代数学史，那么我们都会选择庞加莱。" [ 1 ] 在这些赞誉中，阿达马（Hadamard）的评价因其批判价值而值得一提，而达布令人钦佩的《历史赞歌》（Eloge Historique）则理所应当地在本卷中占据引言的位置。 [ 2 ]

想要只用一篇文章，对庞加莱的成就做出令人满意的评价是不可能的。他的论文集按主题编排出版，这为我们提供一个契机，即从他的工作及其与当时数学的关系出发，对他的工作进行更从容和更具批判性的评述。我的目的正是尝试进行这样的评述。

庞加莱在自守函数领域的研究，直接动机是 1880 年数学科学大奖赛提出的问题：在某些重要方面完善线性常微分方程理论。部分由于庞加莱对新函数的发展不够完整，该奖项没有授予庞加莱，而是授予了哈尔芬（G. H. Halphen）。庞加莱的这一初步尝试的摘录将刊登在《数学学报》（Acta Mathematica）第 39 卷。

为了理解庞加莱所取得的进步的本质，我们有必要回溯一下施瓦茨（Schwarz）、富克斯（Fuchs）、肖特基（Schottky）和克莱因（Klein）几乎同期的工作。 

在黎曼（Riemann）时代之后，众所周知，一个二阶线性常微分方程的一对（基本）解的比值的反函数是一个自守函数，即一个在分式线性变换群作用下不变的函数。这类函数的例子当时已经存在，比如三角函数和椭圆函数、椭圆模函数，由施瓦茨首先分类的更一般的三角函数和肖特基提出的其他函数，最后还有由克莱因发展出其中代数和几何优美关系的有理自守函数。当把这些例子与富克斯在线性常微分方程方面的启发性工作联系起来看时，就会发现一个显而易见的可能性，那就是单值超越自守函数的广阔理论还有待发展。富克斯在 1880 年首先明确指出了这一领域，但庞加莱对其思想起源的描述表明，他与该文基本独立 [ 3 ] 。

然而，一般的超越自守函数并没有立即被研究，因为存在着我们现在要提到的某些空缺（gap）。

如果我们把微分方程的奇点和特征指数（characteristic indices）都看作实数，那么从 1880 年之前富克斯的研究中就可以明显地推导出，其反函数将一个圆弧多边形共形地映射到黎曼曲面上，并且通过解析延拓过程产生了其他多边形，这些多边形是通过线性分式变换得到的。多边形互不重叠的一个直接必要条件是，第一个多边形顶点上的角要么为 0，要么为 2 π 的有理数倍。其互不重叠所需进一步的精确条件，仅在有理自守函数的情况下才为人所知，而这一处理来自克莱因：此时多边形可以表示为球面多边形，因此可以使用球面三角函数的一般公式。但富克斯更早的研究清楚地表明，单值自守函数在没有重叠的情况下始终存在。

因此，庞加莱在科学上臻于成熟的时刻，正是为这些函数建立一般理论的最佳时机，而这些函数正在引起数学家们的关注。

这里似乎值得一提的是，一种在数学中经常出现，但在任何其他科学领域却几乎从未出现过的情况：几位数学家都掌握了许多新材料，但唯独缺少某个推理环节。然而，因为考虑到对完整性和严谨性的自我要求，无人宣称自己取得了成果。 

庞加莱开始研究超越自守函数时，该领域的状态正是如此。对应相同群的自守函数之间的代数关系、这些函数的单值化性质，以及它们在求解线性微分方程中的应用，都是这类材料的例证。

正是由于使用了非欧几里得几何，庞加莱才克服了上述提到的根本困难。那么，这些几何思想是如何进入这项研究的呢？

所考虑的复平面区域是一个不变圆（fixed circle）的内部，所提及的多边形的边界圆都与之正交。此外，这些多边形的分式线性变换的特性是使不变圆保持不变。这就是罗巴切夫斯基（Lobachevsky）的非欧几何的抽象特征，即一个三参数变换群，如果把与不变圆正交的每一个圆（弧）都看作直线，并且把角度看作通常的角度，那么这个变换群就可以被解释为刚体运动群。

认识到这一事实后，庞加莱在自守函数领域看到了广阔的发展前景，并顺带着获得了双曲平面的一个新的简单几何表示。很自然地，这种几何观点与克莱因极富启发性的研究成果联系在了一起。因此，我们毫不惊讶地发现，庞加莱一开始就掌握了射影几何带来的强大武器。

从这个新的角度来看，确定多边形是否重叠的困难呈现为一个绝对具体的方面。多边形在非欧几里得平面上以普通多边形的形式出现，而问题在于，确定在何时整个平面可以被一个全等多边形网格填满。精确的分析学条件即显现为是代数的。

尽管庞加莱所取得进展的本质内核只是迈出了一步，但他必须被视为一般超越自守函数理论的真正奠基人。微积分在创立时也出现过类似的情况。毫无疑问，许多数学家都掌握微积分的大部分基本思想，但他们没有察觉到通过发明合适的符号能将微积分提升为一门独立学科的可能性。人们普遍认为牛顿和莱尼兹是微积分的创始人，正是因为他们确实看到了这种可能性。

如果牛顿只是发展了 " 流数计算 "（calculus of fluxions）中较简单的部分，那么他也不会有如此崇高的地位。然而，牛顿不仅设想了这种可能性，还发展出适当的技术并将其应用于天体力学问题，将其付诸实践。同样，庞加莱也值得被高度赞扬，因为他一旦掌握了新的基本攻击武器，就着手发展超越自守函数理论，并取得了令人瞩目的成就。

在进一步发展新思想的过程中，庞加莱面临着两种可能性。一方面，沿着黎曼、施瓦茨、富克斯、肖特基和克莱因的一般路线，他可能会发展出一种基于共形映射存在定理的一般理论。他清楚地看到，这是一条可行的道路。因此，他在早期的一篇论文（Mathematische Annalen，1882）中宣称：" 从非连续群的存在性出发，毫无疑问，我们可以通过类似于施瓦兹的过程，推导出通过群元的置换重现的单值函数的存在性；但这样一来，我们就无法得到这些超越函数的具体表达式。此外，最好使用其他方法。" 另一种方法则基于庞加莱在注意到上述几何度量关系之前发明的某些显式级数，现在我们就来谈谈这些级数。

在普通的有限分式线性变换群的情况下，对于任何 z 值及其在该群变换下的参数 zk 的有理函数 H ( z ) 的和，显然形成了一个（群作用下的）不变函数。类似的无穷级数也存在于椭圆函数的级数中。 这些无穷级数由凯莱（Cayley）和爱森斯坦（Eisenstein）发明，虽然其导数级数收敛，但在某些情况下会发散。在这些级数的基础上，魏尔斯特拉斯（Weierstrass）构建了他的椭圆函数理论。

假设我们用类似的方法，构造一个在任意的无限不连续线性分式变换群下形式不变的级数，并假设该群保持某个圆不变。z 的像点 zk 将接近不变圆，当 k 变为无限大时，级数的第 k 项 H ( zk )   将保持有限性，至少对我们开始计算的有理函数 H 在该圆上没有极点的情况下是这样。但是，我们没有理由假定这个级数会收敛。 

然而，如果对级数在形式上逐项求导，新级数的典型项（typical term）就是在像点 zk 处取的有理函数的导数 H' ( zk ) 与导数 dzk/dz 的乘积。第二个因子的模代表相应的相似无穷小图形的弧长。这个因子的模平方在基本区域的任意部分 C 上的面积积分就得到了像的普通面积 Ck。但所有面积 Ck 之和小于不变圆的面积。因此，级数

收敛。这一论证的简单推广表明，

也会收敛。因此，当 k 变为无限大时，因子趋近于 0。 

现在，如果这样的导数级数收敛，它就不再表示一个自守函数，而是代表一个具有以下性质的函数

其中

且。因此，我们可以考虑其典型项为

的级数，如果   m ≥ 2，该级数将收敛，而当 z 变为 zk 时，该级数将乘以

。 

此外，庞加莱从上述 θ 级数定义出的函数，发挥了类似椭圆函数理论中椭圆 θ 函数的作用，适合构成自守函数理论一般发展的基础；事实上，两个具有相同 m 值的此类函数的商是一个自守函数。迄今为止，我们还没有发现其他完全显式的自守函数表达式。 

所有这些事实都可以从齐次变量的角度来看待，然后呈现为更优雅的形式，但庞加莱关于这些级数自身的思想的发展，很可能是沿着刚才所概述的阻力最小的路线进行的。

有了这两块理论基石——即非欧几何和射影几何的解释，以及上文提到的显式级数（构造）——自守函数理论与椭圆函数的类比就变得加倍明显了。他认为，椭圆函数与代数函数及其积分、线性微分方程和数论之间的相互关系可以得到完全的推广，而进行这一发展所需的知识范围正是庞加莱在巴黎自然地掌握的。

他在《数学学报》早期卷中发表的五篇长篇论文，即使从该理论目前的发展程度上来看，仍可认为是为自守函数理论奠定了首要基础。许多重要的补充成果已被主要是德国数学家添加，他们使用了齐次变量，并从上述提到的黎曼观点出发，发展出独立的理论。 

在第一篇题为《关于富克斯群的理论》（Th é orie des groupes fuchsiens）的内容丰富的论文中，庞加莱从其几何观点出发，明确地发展了非欧平面上多边形和全等多边形网格的形式。为了纪念富克斯，他把具有不变圆的不连续群称为富克斯群，并把相应的自守函数称为富克斯函数。或许，此处使用克莱因的术语，将它们称为 " 具有主圆（principal circle）的群 " 和 " 具有主圆的自守函数 " 会更好一些。庞加莱对群的分类是有启发性的，但并未达到像弗里克（Fricke）给出的那样具有确定性。 

在第二篇论文《富克斯函数的研究》（Sur les   fonctionsfuchsiennes）中，庞加莱对前文所述的级数进行了研究，并阐述了与这些级数定义的函数有关的主要事实。主要的困难在于：这样的函数可能完全消失（vanish）。利用这些函数的理论，也可以导出自守函数的理论。这里需要证明的一个重要事实是，每个自守函数都可以表示为两个此类级数的商。反过来，我们可以通过微分过程从自守函数回到庞加莱的 θ 级数。

在同一篇文章中，这些函数的第一个基本应用是代数函数的单值化。任何两个具有相同群的自守函数之间显然存在代数关系，正如两个具有相同周期平行四边形的双周期函数之间存在代数关系一样。自守函数将这种代数关系单值化了，即每个变量都可以用属于同一个群的自守函数来表示。这样，黎曼曲面就被共形地映射到与前面提到的圆弧多边形上了。于是，一个重要的问题立刻出现了：难道不能用这样的函数来单值化每一种代数关系吗？庞加莱通过初步的常数计算（count of constants）得出，用自守函数进行单值化很可能是可以做到的。第二个重要应用在于求相应的二阶线性微分方程的积分。

在第三篇论文《关于克莱因群的论文》（M é moire sur les groupes klein é ens）中，庞加莱用同样的 θ 级数处理了没有不变圆的更一般的共形群。这些群和相应的自守函数被他称为 " 克莱因群 " 和 " 克莱因函数 "，但或许将其称为 " 无主圆的群 " 和 " 无主圆自守函数 " 更为恰当。凯莱和克莱因提出了基本的几何结果，使得对这些更一般的函数的研究成为可能。空间非欧几何学进入了复平面，复平面上所有线性分式变换的整体，与在空间中保持二次曲面不变的那些射影变换（的整体构成的群）是同构的。

在另外两篇论文《关于线性方程的群》（Sur les   groupes   des é quationslin é aires）和《关于 ζ 克莱因群的论文》（M é moire   sur les   fonctions   z é tafuchsiennes）中，庞加莱探讨了单值化代数函数和具有代数系数的线性微分方程积分的问题。不难看出，如果函数只有三个分支点，或者线性微分方程有有理系数和三个奇点（正则或不正则），那么只要三个奇点的像位于基本三角形的顶点，就可以通过椭圆模函数实现这种单值化。这一点显然可以推广。在尝试建立这种推广时，庞加莱首先证明了单值群的特征常数是文字系数（literal coefficient，译者注：即系数的字母部分）的全纯函数，然后采用克莱因的 " 连续性方法 "。事实证明，这种方法很难得到令人满意的应用。庞加莱给出了与他的 θ 级数类似的显式级数，基于这些级数，微分方程的单值化是可能的。

在尝试评价庞加莱发现的新函数的重要性时，我们必须始终记住，这些函数是早先在分析中处理的许多函数的自然延伸。此外，它们为代数函数及其积分的理论提供了一种非常简单的系统性方法，并为代数系数的线性常微分方程理论增添了光辉的一章。但是，自然推广的过程似乎随着这些函数的发明和研究而结束，就像椭圆函数理论早先得出的结论一样。我并不期望看到重大的进一步发展，尽管达布在序言中暗示了相反的希望。

对于未来的数学家而言，他们在掌握了这些完备的理论之后，一方面会设法对其进行清晰化和简化，另一方面则只会使用其中与进一步发展真正密切相关的部分 [ 4 ] 。 

如果确实如此，那么我们可以预言，椭圆模函数和三角函数将因其内在的重要性和作为具有主圆的超越自守函数的最佳范例而保持重要地位，而庞加莱发现的更一般的函数将只得到必要的考虑，以确定它们在解析函数层级结构（hierarchy）中的位置。 [ 译者注：就译者所见，自守函数在之后单值化定理的证明中发挥了重要作用。而在另一方面，作为函数论的研究对象，自守函数后来的大体命运似乎确实如伯克霍夫此处所言。首先是一些数学家对自守函数的相关问题和理论进行了系统整理和论述，并撰写了经典专著（如 Lehner, Discontinuous groups and automorphic functions 和 Ford, Automorphic Functions 等）。在自守函数理论基本发展成熟和趋于完备之后，不同领域的数学家则根据各自的兴趣和需要，转向研究和使用自守函数的各种推广，例如（1）利用 " 泛函化 " 观点对自守函数的直接推广，在数学物理（如微分方程和量子场论）中应用广泛（可参见李国平、郭友中、陈银通，《自守函数与闵可夫斯基函数》）；（2）作为其进一步推广的自守形式，在现当代数论（包括朗兰兹纲领）中更是占据核心地位。关于这两点，可参考译者之前文章中的第二篇：《庞加莱的数学交响：自守函数动机在 20 世纪的变奏与展开》及文末参考文献。 ]

参考文献及注释

[ 1 ]   Volterra, "Henri   Poincar é ." A lecture delivered at the inauguration of Rice Institute（在莱斯学院落成典礼上发表的演讲）. Translated by G. C. Evans. Rice Institute Pamphlets, Vol. I ( 1915 ) , No. 2, pp. 133-L62.

[ 2 ]   "Henri   Poincar é : le math é maticien,"   Revue de M é taphysique   et de Morale, vol. 21 ( 1913 ) , pp. 617-658.

[ 3 ]   "Science et M é thode," Flammarion, Paris, 1908, Chap. 3; 或 pp. lvii-lviii of   Darboux's   " Eloge   Historique."

[ 4 ]   在奥斯古德（Osgood）教授的 "Lehrbuch   der   Funktionentheorie"，第一卷（第二版 1912 年）的最后一章中，以这种精神论述了自守函数。另见他的论文《论代数函数的单值化》（On the uniformization of algebraic functions）,   Annals of Mathematics, ser. 2, vol. 14 ( 1912-1913 ) , pp. 143-162.

本文译自 George D. Birkhoff,   Oeuvres de Henri   Poincar é ,   Bull. Amer. Math. Soc., Volume 40, Number 5 ( 1934 ) , 363-366.https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1920-03279-9

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