摘要

复杂系统中的反常扩散现象普遍存在却难以统一解释。北京师范大学物理与天文学院的小系统统计物理研究团队最新的工作以冷原子在光学晶格中的扩散为研究对象，针对理论预测与实验观测的差异，采用哈密顿原理构建了系统 - 环境非线性耦合的理论框架。研究揭示：反常扩散源于系统内部的关联结构，冷原子在随机亚稳势中运动导致超快扩散和空间列维分布。这一发现不仅解决了冷原子系统中的理论困境，也为理解一般复杂系统中因环境异质性与非线性相互作用产生的异常行为提供了新视角。

研究领域：复杂系统、反常扩散、冷原子系统、哈密顿形式、列维分布、广义朗之万方程、涨落耗散定理、非线性耦合

包景东   | 作者

异常来自于系统内部的关联

英国大文豪莎士比亚有一句世人皆知的名言：" 幸福的家庭总是相似的，而不幸的家庭总是不尽相同的。若将 " 家庭 " 视为微观系统，" 不幸 " 理解为异常状态，这句话便蕴含着深刻的双层哲理：幸福家庭如同确定论创始人拉普拉斯所描述的理想系统一样，" 只要写出运动方程并给定初始条件，就能精确预测未来轨迹 "；而不幸家庭则体现了统计物理学中概率与随机性交织的复杂性。随着社会和科技的发展，再小的系统也难以处于孤立状态而不被测量，只要它与环境发生互作用，就会展示异常现象，司空见惯。

众所周知，爱因斯坦研究随机过程中创立了正常扩散理论，报告自由粒子的方均位移（Mean Square Displacement, MSD）正比于时间，其空间分布为高斯函数，任何偏离这一模式的现象，我们称之为反常扩散。现在，一个令人诟病的论题摆在了案头，即 " 同一反常扩散现象为何用不同模型来解读？"   因为这把莎翁话的意思纠缠在一起了！

辉煌的基础物理学赠予每个理论物理学人都有一个神奇的手杖，那就是哈密顿函数和第一性原理。鉴于 " 扩散 " 凝聚了众多科学问题，所以深入研究之是令人憧憬且极具价值的。北京师范大学物理与天文学院的小系统统计物理研究团队经过长期努力，一篇理论长文 "Hamiltonian formalism of state-dependent diffusion and application to laser-cooling atoms" 于 2025 年 2 月 26 日 在 Physical Review Research 线上发表 DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevResearch.7.013210。该研究从哈密顿原理中揭示了冷原子反常扩散的内禀机制，不同之处在于以往研究激光俘获原子 ( BEC 相变 ) 是在动量空间，而现在是在坐标空间——超快动力学（MSD 随时间增长的幂律指数在 1 和 3 之间）。

在研究复杂系统时，我们不仅需要考虑系统自身结构和功能导致的临界与涌现现象，还必须关注环境的异质性与动态特性，以及系统与环境之间的非线性相互作用。哈密顿原理方案给出了一种优雅的粗粒化处理方案：即把环境因素用多自由度快变化量来模型化，用积分或投影的方法将它们消除，对系统的影响表征为涨落与耗散。因此，本文对复杂系统研究富有启发，也许还找到了莎翁哲思的答案——异常来自于系统内部的关联。

动机：冷原子反常扩散的理论困境

布朗运动作为物理学中的基础现象，长期以来在热力学与统计理论发展中占据核心地位，并持续为自然科学多个领域提供研究灵感。布朗运动动力学可便捷地通过广义朗之万方程（Generalized Langevin Equation, GLE）进行描述。GLE 的推导存在多种方法，其中成熟的架构为系统加热库模型。在哈密顿 -GLE 范式中，噪声关联函数与记忆函数满足涨落耗散定理（Fluctuation-Dissipation Theorem, FDT）。非线性 GLE 已被推广至系统与热浴非线性耦合的情形，其虽保持着传统 GLE 形式，但引入了依赖于坐标的非线性摩擦项。该理论甚至可拓展到系统与非热环境、非平衡浴环境耦合的情况。

近年来，冷原子在光学晶格上扩散问题的实验与理论研究成为热点，在这类研究系统中，光学晶格由正反向传播的两束激光构成（见示意图），原子受到动量依赖的摩擦和涨落的共同作用，展现出反常扩散—超快扩散特性，实验观察发现扩散指数随光学势阱深度增加而减小。然而理论计算比实验结果下降趋势要快，这意味着需考虑非马尔可夫记忆效应；为符合实验观测冷原子空间分布为 L é vy 型的结果，许多研究者引进另外一个分数阶扩散方程来拟合，但与原来的冷原子动力学方程不一致。这一矛盾引发两个关键的非平衡统计物理问题：大偏离和非高斯统计的根源是什么？还注意到现有唯象模型缺失耦合关联项。因此，构建一个基于微观物理基础、能够准确描述冷原子扩散行为的理论方程，成为亟待解决的科学难题。

方法：哈密顿形式的非线性耦合动力学

历史上称列维飞行（L é vy flight）或者列维噪声（L é vy noise）为 " 数学之妖 "， 这是因为它有一个令传统统计物理学棘手的特性：二次矩发散。然而近年来，这一 " 数学之妖 " 在物理学中找到了重要应用：它能够产生具有长拖尾幂律分布的现象，解释大偏离行为。不过，在现有研究中，列维噪声通常仅作为外部驱动源项被添加到系统动力学方程中，缺乏内在物理基础。

为解决以上问题，本文采取的是全新的理论方案：将冷原子建模为一个开放系统，与模拟光场的热库非线性耦合。对于非线性耗散系统而言，我们遵循严格的理论步骤：首先构建包含系统与环境完整相互作用的总哈密顿量；然后通过积分方法消除二次型的环境自由度；最后严格导出系统满足的广义朗之万方程（GLE）。

这一方法好处至少体现在两方面：①给出由环境坐标和动量初始准备确定的噪声数学表达式，分析噪声性质；②尽管所得方程可能呈隐式的，但是系统变量间的耦合要素可完整地保留。本文的解析和数值结果汇集以下结论：

结论：从微观机制到宏观表现

1）列维噪声的外部控制特性：若假设构成热库的大量谐振子初始坐标和动量遵从 L é vy 分布，由此产生的噪声关联函数将不具有时间平移不变性。这导致涨落耗散定理（FDT）无法成立，因而不存在稳定意义下的 GLE。这一发现表明，也就说导致大偏差的 L é vy 噪声不是内部而为外部控制。

动量耦合的双重作用：激光场使冷原子同时受到动量依赖的摩擦力和涨落力。在微观层面，动量在两个关键位置发挥作用：系统动能表达式和系统与环境的耦合函数。根据第一性原理建立的系统运动方程本质上是隐式的。为克服这一理论困境，本文提出了采用指数记忆核函数的方法，该方法进一步可退化为显式马尔科夫过程。值得注意的是，与传统处理方式不同，冷原子的速度并非简单地正比于其动量，这是因为严格动力学方程中存在 x 与 p 的交叉耦合项。

3）模型完备性的重要性：通过审视当前广泛使用的冷原子动力学方程，我们发现动量相关的摩擦系数和扩散系数之间确实满足 FDT。然而，这种约束关系仅能在哈密顿系统加热库框架下自然呈现，这印证了上述第 2 点结论。因此，现有理论模型必须补充缺失的坐标 - 动量耦合项才能完整描述系统行为。另一方面，另一方面，目前唯象模型解出的动量分布是一个修正高斯函数（见下图），也得不到冷原子空间 L é vy 分布。

4）随机亚稳势机制：在本文建立的哈密顿 - 朗之万方程模型框架下，我们发现冷原子等效地在一个随机亚稳势中运动。这一理论机制能够自洽地解释实验中观测到的两个关键现象：冷原子在空间中的超快扩散行为及其 L é vy 分布特性（如下图所示）。

这些发现不仅深化了我们对冷原子系统的理解，也为研究其他非平衡复杂系统提供了全新的理论框架和分析工具。

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