在中国，数学科学被提到了前所未有的重要地位。早在 2019 年，科技部、教育部、中国科学院、自然科学基金委就发布了《关于加强数学科学研究工作方案》的通知，要求持续稳定支持基础数学科学，加强应用数学和数学的应用研究。

近年来，随着人工智能和相关技术的兴起，进一步加强了不少人想 " 爱一下数学 " 的冲动。但很快大家就感触到：数学，想和它亲近，稍稍深入地了解一下它，并不容易。

数学书籍的界面，为何这么 " 不友好 "？

先说一个真实的故事。笔者从事科普讲座，从 " 七桥问题 " 说到 " 拓扑学 "，从 " 七桥问题 " 中的桥是画直线还是曲线都是一样的，引申到只要不产生新的连接点和断开点，所考虑的对象在拓扑学意义下都是一样的。所以，拓扑学有 " 橡皮泥 " 几何学的雅号。有听众被这通俗的 " 拓扑学 " 所吸引，找来一本关于拓扑学的讲义想 " 亲近 " 一下拓扑，但是，这类书的第一个定义通常是长这个模样：

定义 1：设 X 是一非空集合，X 的一个子集族 τ 称为 X 的一个拓扑，如果它满足：

1）X 和 Ø 都包含在 τ 中；

2）τ 中任意多个成员的并集仍在 τ 中；

3）τ 中有限多个成员的交集仍在 τ 中。

让人诧异了！" 橡皮泥 " 几何学在脑海形成的印象，无论如何也不会和上面的这段文字发生联想。没有很好的数学素养，很难理解这两者之间的联系。数学书籍界面的不友好，成为普罗大众想亲近数学的拦路虎。

数学为什么总是这么抽象？

数学界面不友好，原因是多方面的，其中之一是数学研究对象的一般性。

以 " 距离 " 这个概念为例。在中学，我们学习距离很简单：两点之间的距离就是用直线连接这两点之间的长度。但面对大千世界的一般性，情况就不一样了。

比如航海。从中国上海到美国旧金山，内行的人都知道，在这个地球仪上测量距离是不能画直线的，要画大圆（或者称测地线），即过这两点和球心的一个平面与球面的截线。因为画直线会带来一个风险，那就是你要从海底穿过，甚至穿过地心，而这可能比宇航员上天还更难一些。

再比如，假设你在电影院里的位置是第一排第三号，第一排第三个就是一个向量。你看见你的朋友坐在第二排第五号。你们位置的距离，当然可以拉一个直线，但是计算比较麻烦，需要用勾股定理。但也可以有别的办法，就是把第一排和第二排相减取绝对值，然后第五号和第三号也相减取绝对值，这两者相加也可以是距离。前者的距离是我们在中学里面学过的距离，而后者则不是中学里学过的距离。

再考虑更复杂的两个人之间的距离。你可以定义两个人的物理距离，可以是人的重心到重心的距离，也可以是两个人鼻尖对鼻尖的距离。如果两个人直视并对峙时，这一距离的定义应该是最恰当的。此外，我们还可以定义两个人身体素质的距离，两个人亲缘关系的距离，还有两个人心灵的距离等等。

其中，两个人心灵的距离是一个很有意义的题目，这确实可以尝试定义。比如，我们可以像电视节目上那样做一些测试。就是看两个人默契的程度。询问一对朋友或者夫妻，他们两人在网上喜欢浏览什么？晚上休息的时候会做什么？若喜欢的东西和志趣一致，表明他们两个距离很近，如果不一致，那两人之间的距离可能比较远。

当然，类似的问题还可以不断更新，比如两个函数之间的距离，两个公司之间的距离，两支股票之间的距离等等。有了这样一些 " 距离 " 的实例以后，我们的问题是：你如何定义一个一般的距离来涵盖上面形形色色的距离呢？

这就变成一个看似困难的问题了。如此一来，我们就需要整理思路，另辟蹊径。显然，对于数学上一般的距离，我们不是具体指明它是什么，也无法指明它是什么，而是说它具有什么属性。

这一思维方式其实并非数学所特有，查一下《现代汉语词典》。说到 " 橙 " 这个词条时，它的解释是具体描绘的，它说：" 橙 : ①常绿乔木或灌木，叶子椭圆形，果实圆形，多汁，果皮红黄色，味道酸甜。②这种植物的果实。" 前者是指橙树这一植物，后者为这种植物的果实。但如果查《现代汉语词典》关于水果的词条，它就不能如此具体指明了。它也是对属性用描述性的语言。那么，属性是什么呢？《现代汉语词典》上这样给予叙述：" 水果：可以吃的含水分较多的植物果实的统称，如苹果、梨子、桃。" 前面一句话其实已经定义完了，后面是怕说不清，再举例说明。

所以，当我们在讨论一个对象时，在清楚地知道属性后，就可以用属性准确地抓住这个对象。我们在中学学习过的距离——两点间距离，只是距离的一个特例。要给出一般的距离定义就要用属性的描述。那么距离最重要的属性是什么？

首先，距离应该是可以测量的，并且它应该没有方向，即 A 到 B 的距离和 B 到 A 的距离一定要一样。两个不同的对象对应的数一定要大于零，两个相等的时候要等于零，即非负性。如果有三个对象，那么 A 和 B 的距离，B 和 C 的距离加起来，应该大于等于 A 和 C 的距离。这就是三角不等式。不仅如此，我们还要解决一个问题，那就是如何用没有歧义的语言写出来。首先，因为我们谈的不能仅仅是 " 数 " 或者 " 点 " 的距离，因为我们也可以谈人的心灵的距离，所以这个距离定义就不能仅仅限制为实数或者向量讨论，应该定义到一个一般的集合上。我们第一句话是："X 是一个非空集合 "，空的集合也不能谈距离，是个非空集合。然后要任给一对这个集合的元素 x 和 y，让这对元素对应一个实数。下面看这个实数满足什么条件：第一，这个实数要求大于等于零，即 " 非负性 "，仅仅当它两个元素相等的时候，它等于零，这是充要条件；第二是我们讨论时说到，x 和 y 的距离与 y 和 x 的距离要相等，这个是它要有 " 对称性 "；第三是集合中的任意三个元素，它要满足三角不等式。把刚才讨论的这么多话用精炼的数学语言写下来就是：

定义 2：设 X 是一个非空集合，任给一对这个集合的元素 x 和 y 给定它一个实数 d ( x,y ) ，如果它满足：

1）非负性：d ( x,y ) ≥ 0，当且仅当 x=y 时 ,d ( x,y ) =0;  

  2）对称性：d ( x,y ) =d ( y,x ) ;  

3）三角不等式：d ( x,y ) ≤ d ( x,z ) +d ( z,y ) ,  

  那么则称 d ( x,y ) 是集合 X 上的距离。

好，这个 " 距离 " 不妨看作上面讨论出来的创造物，是在我们手上产生的。那大家是不是觉得它还是比较亲切。当然，由于课时的限制和听课对象的多样性，教师上课一般不会采用这种讲法。数学书一般也不会讲前面讲的那么多话，数学书开篇就提定义，直接给出上述距离的定义。学习数学的学生也会抱怨，数学怎么这么抽象，完全不知道这个定义在说什么。

如何做数学科普更有效？

回顾这段 " 旅程 "，我们的收获是什么呢？就是一旦讨论的对象不是具体指的，而是一个泛指的抽象对象，我们就要去抓它和问题相关的最重要的属性，并把其他的属性全部忽略。

比如说距离，不是考虑是直线还是折线，哪种定义方法距离更短一些，这些东西没有了。把关键的三个属性找出来，这就是抽象。所以有了这样一次经历，我们就大致知道数学的定义如何形成。至少从一个侧面知道数学的游戏是如何玩的，说不定有的读者还悟到 " 数学游戏 " 的一两个通关秘诀。

在这里，我们需要理解数学定义叙述之所以如此抽象，其实有一个重要原因，即是因为数学定义的 " 责任重大 "。就以这里的距离定义来说，定义要对大千世界的所有距离负责，不是仅仅对一个具体的距离作定义，而是要从属性出发，指明 " 有什么 "。从这个角度说，数学家的视野就是王者的格局。当然用 " 有什么 " 的属性来描述对象，是有悖于人们惯常的思维方式的，也就形成数学书籍界面的不友好。

从另一个角度讲，如何搭起公众与数学科学的 " 鹊桥 "，是数学工作者的一项重要使命，特别是在当今信息科学需求日益高涨的环境下，让喜欢数学的公众比较容易地爱上数学，其实是有切实的途径可探索的。

这里有两点建议：

一是任何一门数学讲座或者数学课程，刚开始一定要有让公众可以理解的入门介绍，要 " 先情后理 "，宁愿牺牲一点严格性，语言也要尽量有画面感和情感。当大家大致知道你想玩什么游戏，且主动探究时，你再更多地讲数学严密性的 " 理 "。

二是介绍任何一个新的数学概念和数学思想，一定要符合大多数人理解事物的习惯，本文前述讲解 " 距离 " 的定义，从 " 具象 " 到 " 抽象 " 应该是好的办法之一。

新的时代需要数学，让我们共同努力，让更多的人爱上数学！

作者：王维克

文：王维克（上海交通大学特聘教授、上海数学会副理事长） 图：受访者供图 责任编辑：姜澎

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